Question

如圖所示，在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的10海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北40

3

海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東30°且與點(diǎn)A相距100海里的位置B，經(jīng)過2小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東60°且與點(diǎn)A相距20

3

海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）； 
（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以點(diǎn)A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閄軸正半軸建系如圖，得出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式得BC從而求得小船速度即可；
（Ⅱ）欲判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，只須比較圓心E到直線BC的距離圓的半徑的大小即可．

解答：解析：（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)一個(gè)單位為10海里
則坐標(biāo)平面中AB=10，AC=2

3

A（0，0），E（0，-4

3

）
再由方位角可求得：B（5，5

3

），C（3，

3

）
…4分
所以|BC|=

(5-3)2+(5 3 - 3 )

2=2

13

…6分
所以BC兩地的距離為20

13

海里
所以該船行駛的速度為10

13

海里/小時(shí)
…7分
（2）直線BC的斜率為

5 3 - 3

5-3

=2

3

所以直線BC的方程為：y-

3

=2

3

（x-3）
即2

3

x-y-5

3

=0…10分
所以E點(diǎn)到直線BC的距離為

|4 3 -5 3 |

13

=

3

13

＜1…12分
所以直線BC會(huì)與以E為圓心，以一個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓相交，
所以若該船不改變航行方向則會(huì)進(jìn)入警戒水域．…14分
答：該船行駛的速度為10

13

海里/小時(shí)，若該船不改變航行方向則會(huì)進(jìn)入警戒水域．

點(diǎn)評(píng)：本題考查已三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，注意選擇正確的坐標(biāo)系以及合理的定理解答是解好題目的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．