Question

已知曲線(xiàn)C：y=x²與直線(xiàn)l：x-y+2=0交于兩點(diǎn)A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．記曲線(xiàn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線(xiàn)段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D．設(shè)點(diǎn)P（s，t）是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合．
（1）若點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，試求線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若曲線(xiàn)G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0與D有公共點(diǎn)，試求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），即要求x，y間的關(guān)系式，先利用x，y列出點(diǎn)P（s，t）的坐標(biāo)結(jié)合點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上即得；
（2）處理圓與D有無(wú)公共點(diǎn)的問(wèn)題，須分兩種情形討論：當(dāng)0≤a≤

2

時(shí)和當(dāng)a＜0時(shí)．對(duì)于后一種情形，只須只需考慮圓心E到直線(xiàn)l：x-y+2=0的距離即可，從而求得求a的最小值．

解答：解：（1）聯(lián)立y=x²與y=x+2得x_A=-1，x_B=2，則AB中點(diǎn)Q(

1

2

，

5

2

)，設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），則x=

1 2 +s

2

，y=

5 2 +t

2

，即s=2x-

1

2

，t=2y-

5

2

，又點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，
∴2y-

5

2

=(2x-

1

2

)2化簡(jiǎn)可得y=2x2-x+

11

8

，
又點(diǎn)P是L上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，
則-1＜2x-

1

2

＜2，即-

1

4

＜x＜

5

4

，
∴中點(diǎn)M的軌跡方程為y=2x2-x+

11

8

（-

1

4

＜x＜

5

4

）．
（2）曲線(xiàn)G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0，
即圓E：(x-a)2+(y-2)2=

49

25

，其圓心坐標(biāo)為E（a，2），半徑r=

7

5

由圖可知，當(dāng)0≤a≤

2

時(shí)，曲線(xiàn)G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0與點(diǎn)D有公共點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，要使曲線(xiàn)G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0與點(diǎn)D有公共點(diǎn)，
只需圓心E到直線(xiàn)l：x-y+2=0的距離
d=

|a-2+2|

2

=

|a|

2

≤

7

5

，
得-

7 2

5

≤a＜0，則a的最小值為-

7 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題、軌跡方程、拋物線(xiàn)方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．