Question

 

從曲線上一點引曲線C的第一條切線，交軸于點，過點引曲線C的第二條切線，交軸于點，…如此反復作下去，由切線得到點列，，的橫坐標組成數列，          

（1）若 ，求數列的通項公式；

（2）若對于任意的正整數都有恒成立，且，求的最大值；

（3）在（1）的條件下，記，數列的前項和為 ，試比較與1的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）   1分 的方程為 且

令得 即             

又B_n(x_n+1,0),   3分

數列是首項為4 ，公比為的等比數列    4分

（2）          

數列是首項為 ，公比為的等比數列，且    5分

又，公比滿足，         

為遞減的等比數列，

∴y_n的最大值是y₁=x₁²,

要使得對任意的正整數都有恒成立，只要           6分

解得，又，的最大值為             7分

（3）由（1）得     8分         

                ①

   ②

①-②得

         11分         

當時，   

當時，       12分         

當時，

      

故T_n>1.                                             14分