Question

5．現(xiàn)要將中國南方的新鮮荔枝運(yùn)到北方甲、乙兩地銷售，運(yùn)輸時(shí)間單位以天計(jì)算．從運(yùn)輸出發(fā)到目的地所用時(shí)間為n天，則新鮮荔枝的品質(zhì)為n級．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每噸n級新鮮荔枝的利潤是：運(yùn)到甲地200-60n；運(yùn)到乙地為300-70n．根據(jù)歷史資料，近期各有10批次運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)輸時(shí)間及頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

目的地/頻數(shù)/運(yùn)輸時(shí)間	1	2	3	4	5
甲地	2	4	3	1
乙地		1	3	4	2

以下計(jì)算都將頻率視為概率，若選擇運(yùn)往甲地或乙地的概率相同（利潤單位為：元）
（1）問運(yùn)往甲地或乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率；
（2）設(shè)運(yùn)到乙地的新鮮荔枝每噸利潤為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（3）在同一批次中，把噸位數(shù)相同的新鮮荔枝運(yùn)到甲地和運(yùn)到乙地所獲利潤分別為X、Y，求事件“X＞Y”發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）求出運(yùn)往甲地、乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率，再計(jì)算運(yùn)往甲地或乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率值；
（2）根據(jù)題意知運(yùn)到乙地的新鮮荔枝每噸利潤ξ的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；
（3）列出把同一批次的新鮮荔枝運(yùn)到甲地和乙地所用時(shí)間和每噸利潤及概率表，計(jì)算運(yùn)到甲地和運(yùn)到乙地所獲利潤X＞Y的概率值即可．

解答 解：（1）運(yùn)往甲地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率為P₁=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
運(yùn)往乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率為P₂=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$；
所以運(yùn)往甲地或乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率為P=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)運(yùn)到乙地的新鮮荔枝每噸利潤為隨機(jī)變量ξ，
則ξ的可能取值為160，90，20，-50；
計(jì)算P（ξ=160）=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=90）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=20）=$\frac{4}{10}$，
P（ξ=-50）=$\frac{2}{10}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	160	90	20	-50
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{10}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=160×$\frac{1}{10}$+90×$\frac{3}{10}$+20×$\frac{4}{10}$-50×$\frac{2}{10}$=41；
（3）把同一批次的新鮮荔枝運(yùn)到甲地和乙地，所用時(shí)間和每噸利潤及概率如下表；
運(yùn)往甲地：

天數(shù)	1	2	3	4
利潤	140	80	20	-40
概率	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$

運(yùn)往乙地：

天數(shù)	2	3	4	5
利潤	160	90	20	-50
概率	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

則運(yùn)到甲地和運(yùn)到乙地所獲利潤X＞Y的概率為：
P（X＞Y）=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{10}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{12}{25}$，
即事件“X＞Y”發(fā)生的概率為$\frac{12}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了古典概型的概率計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．