Question

【題目】如果定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意x1≠x2 ， 都有xlf（xl）+x2f（x2）≥xlf（x2）+x2f（xl），則稱f（x）為“H函數”，給出下列函數： ①y=﹣x3+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣ex；
④f（x）= ；
⑤y=
其中“H函數”的個數有（ ）
A.3個
B.2個
C.l個
D.0個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根據題意，對于x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）， 則有f（x1）（x1﹣x2）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，
即[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，
分析可得：若函數f（x）為“H函數”，則函數f（x）為增函數或常數函數；
對于①、y=﹣x3+x+l，有y′=﹣3x2+l，不是增函數也不是常數函數，則其不是“H函數”，
對于②、y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；有y′=3﹣2（sinx+cosx）=3﹣2 sin（x+ ），有y′≥0，
y=3x﹣2（sinx﹣cosx）為增函數，則其是“H函數”，
對于③、y=l﹣ex=﹣ex+1，是減函數，則其不是“H函數”，
對于④、f（x）= ，當x＜1時是常數函數，當x≥1時是增函數，則其是“H函數”，
對于⑤、y= ，當x≠0時，y= ，當x＞1和x＜﹣1時，函數為減函數，故其不是增函數也不是常數函數，則其不是“H函數”，
綜合可得：有2個是“H函數”，
故選：B．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．