Question

已知雙曲線的離心率為2，過(guò)點(diǎn)P（0，﹣2）的直線l與雙曲線E交于不同
的兩點(diǎn)M，N．
（I）當(dāng)求直線l的方程；
（II）設(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵雙曲線的離心率為2，
∴a²=m，b²=12，c²=m+12，
，∴m=4，雙曲線E的方程為，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，
設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣2，點(diǎn)M（x₁，kx₁﹣2），N（x₂，kx₂﹣2），
當(dāng)時(shí)，x₁=2x₂，，
∴，①
y=kx﹣2代入，得：（3﹣k²）x²+4kx﹣16=0，
3﹣k²≠0，且△=16k²﹣4（3﹣k²）（﹣16）＞0，
即﹣2＜k＜2，且k，
∴，
代入①得9×=2（）²，解得k=，滿足△＞0，
所以直線l的方程為．
（II）=
==（k²+1）x₁x₂﹣2k（x₁+x₂）+4=
=12+，
∵0≤k²＜4，且k²≠3，
∴，或，
∴t＞52，或t≤﹣20