解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

如圖,直三棱柱A1B1C1—ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).

(1)

求點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離

(2)

求二面角B—A1D—A的大小

(3)

在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,確定其位置并證明結(jié)論;若不存在,說(shuō)明理由.

答案:
解析:

(1)

解:∵A1B1C1-ABC為直三棱住∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥BC

∵AC⊥CB∴BC⊥平面A1C1CA………………2分

∴BC長(zhǎng)度即為B點(diǎn)到平面A1C1CA的距離

∵BC=2∴點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離為2……………………4分

(2)

  解法一:

解:分別延長(zhǎng)AC,A1D交于G.過(guò)C作CM⊥A1G于M,連結(jié)BM

∵BC⊥平面ACC1A1∴CM為BM在平面A1C1CA的內(nèi)射影

∴BM⊥A1G∴∠GMB為二面角B—A1D—A的平面角……………………6分

平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點(diǎn)

∴CG=2,DC=1在直角三角形CDG中,……8分

即二面角B—A1D—A的大小為………………9分

  解法二:

∵A1B1C1—ABC為直三棱住C1C=CB=CA=2

AC⊥CBD、E分別為C1C、B1C1的中點(diǎn)

建立如圖所示的坐標(biāo)系得

設(shè)平面A1BD的法向量為n

…………8分

平面ACC1A1的法向量為m=(1,0,0)…………9分

即二面角B—A1D—A的大小為………………10分

(3)

  解法一:

解:在線段AC上存在一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD………………10分

其位置為AC中點(diǎn),證明如下………………11分

∵A1B1C1—ABC為直三棱柱∴B1C1//BC

∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA

在線段AC上存在一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD………………10分

其位置為AC中點(diǎn),證明如下………………11分

∵A1B1C1—ABC為直三棱柱∴B1C1//BC

∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA

∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F∵F為AC中點(diǎn)∴C1F⊥A1D∴EF⊥A1D………13分

同理可證EF⊥BD∴EF⊥平面A1BD…………………14分

∵E為定點(diǎn),平面A1BD為定平面∴點(diǎn)F唯一

  解法二:

在線段AC上存在一點(diǎn)F,設(shè)F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD……11分

欲使EF⊥平面A1BD由(2)知,當(dāng)且僅當(dāng)n//…………12分

………………13分

∴存在唯一一點(diǎn)F(0,1,0)滿足條件

即點(diǎn)F為AC中點(diǎn)………………14分


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(1)

(理)已知數(shù)列相鄰兩項(xiàng)anan+1是方程的兩根(n∈N+)且a1=2,Sn=c1+c2+…+cn,求an與S2n

(2)

(文)已知f(x)=x2-4x+3,又f(x-1),f(x)是一個(gè)遞增等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)

(1)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式

(2)求a2+a5+a8+…+a26的值.

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證明下列不等式:

(文)若xy,z∈R,a,b,c∈R+,則z2≥2(xyyzzx)

(理)若xy,z∈R+,且xyzxyz,則≥2

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(1)

方程f(x)=0有實(shí)根.

(2)

a>0且-2<<-1;

(3)

(理)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

(文)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,則

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已知函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.

(1)求f(x)的解析式;

(2)(文)若g(x)=f(x)·x+ax,且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(理)若,且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求橢圓C的方程;

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(理)若點(diǎn)E滿足,問(wèn)是否存在不平行AB的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)且|ME|=|NE|,若存在,求出直線lAB夾角的范圍,若不存在,說(shuō)明理由.

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