Question

選做題：請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評(píng)閱計(jì)分．
（1）（幾何證明選講選做題） PA與圓O切于A點(diǎn)，PCB為圓O的割線(xiàn)，且不過(guò)圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

7

．
（2）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)（2

2

，  

π

4

）作圓ρ=4sinθ的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是

ρcosθ=2

．

Answer 1

分析：（1）過(guò)O作OE⊥BC于E，連接OA，交AB于F．由切割線(xiàn)定理，得PA²=PC•PB，求得PB=12，再結(jié)合垂直于弦的直徑，得到BE=

1

2

BC=5.5，然后在Rt△PAF中，算出AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4，最后在Rt△OEF中算出OF=5，即可得到圓O的半徑為7；
（2）將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，得到已知點(diǎn)恰好在已知圓上，利用切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，可得到切線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，最后將此方程化成極坐標(biāo)方程即可．

解答：解：（1）過(guò)O作OE⊥BC于E，連接OA，交AB于F
∵PA與圓O切于A點(diǎn)，
∴PA²=PC•PB，即（2

3

）²=1•PB，得PB=12
∴AB=PB-PC=11，可得BE=

1

2

BC=5.5
∵PA與圓O切于A點(diǎn)，
∴OA⊥PA，得Rt△PAF中，AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4
∵Rt△OEF中，∠OFE=∠PFA=90°-30°=60°，EF=PB-BE-PF=2.5
∴OF=

EF

cos60°

=5，可得圓O的半徑為R=OF+AF=7
（2）點(diǎn)A（2

2

，  

π

4

）化成直角坐標(biāo)為A（2，2），而圓C：ρ=4sinθ的直角坐標(biāo)方程是x²+y²-4y=0
∵2²+2²-4×2=0
∴點(diǎn)A（2，2）適合圓C方程，得點(diǎn)A是圓C上的點(diǎn)
∵圓C的圓心為（0，2），得AC的斜率k=

2-2

2-0

=0，
∴過(guò)A與AC垂直的直線(xiàn)為x=2，即為過(guò)A點(diǎn)與圓C相切的直線(xiàn)
因此切線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是ρcosθ=2
故答案為：7    ρcosθ=2

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的切線(xiàn)長(zhǎng)和割線(xiàn)長(zhǎng)求圓的半徑，并且在已知直線(xiàn)與圓的極坐標(biāo)的情況下求切線(xiàn)的方程，著重考查了與圓有關(guān)系的比例線(xiàn)段和簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程等知識(shí)，屬于中檔題．