Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線．

（1）求的普通方程；

（2）設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）．

【解析】

（1）消元法消去參數(shù)得的普通方程，同理表示的普通方程，最后將其消去整理后可得答案；

（2）由橢圓的參數(shù)方程表示其上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式表示，再由三角函數(shù)求的值域確定最大值，最后開(kāi)方即可.

解法一：（1）消去參數(shù)得的普通方程為，

消去參數(shù)得的普通方程為．

聯(lián)立消去得，

所以的普通方程為（）．

（2）依題意，圓心的坐標(biāo)為，半徑．

由（1）可知，的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），

設(shè)（），則

，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，

又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)，等號(hào)成立．

所以．

解法二：（1）消去參數(shù)得的普通方程為，

消去參數(shù)得的普通方程為．

由得

故的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

所以的普通方程為（）．

（2）同解法一．