如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．
證明：（1）∵ABCD為菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M為BC中點，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
（2）存在點E，使得MN∥面ACE，理由如下：
取PD中點E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點，
∴NE
∥
.
.
1
2
AD
又在菱形ABCD中，CM
∥
.
.
1
2
AD
∴NE
∥
.
.
MC，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點E，使得NM∥平面ACE，
此時 PE=
1
2
PD=
2
．
（3）過A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，
則AE=
2
，CF=
14
2
，EF=
2
2
，AC=2
設(shè)二面角A-PD-C的平面角為θ
則AC=
AE2+CF2+EF2-2•AE•CF•cosθ
=2
則cosθ=
7
7

則tanθ=
6
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論中正確的是______．（把你認為正確的結(jié)論都填上）
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1與底面ABCD所成角的正切值是
2
；
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2
；
⑤過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正三棱錐底面邊長為a，側(cè)棱與底面成角為60°，過底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角，則此截面的面積為（　�。�
A．
3
4
a2		B．
3
3
a2		C．
1
3
a2		D．
3
8
a2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點．
求：
（1）D1E與平面BC1D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1，AB=2，點E在棱AB上．
（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）當(dāng)E點為線段AB的中點時，求異面直線D1E與AC所成角的余弦值；
（3）試問E點在何處時，平面D1EC與平面AA1D1D所成二面角的平面角的余弦值為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于A′．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知
u
=(-2，2，5)，
v
=(6，-4，4)，
u
，
v
分別是平面α，β的法向量，則平面α，β的位置關(guān)系式（　�。�
A．平行B．垂直
C．所成的二面角為銳角D．所成的二面角為鈍角

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）當(dāng)x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是直線BC1的動點，則下列四個命題：
①三棱錐A－D1PC的體積不變；
②直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；
③二面角P－AD1－C的大小不變：
其中正確的命題有____      ．（把所有正確命題的編號填在橫線上）

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同步練習(xí)冊答案