Question

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁．

(Ⅰ)求證：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù)．

注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為(Ⅰ)的完整證明，并解答(Ⅱ)．(右下圖)

(Ⅰ)在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵______________

∴EG⊥側面AC₁;取AC的中點F，連結BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵______________

∴BF⊥側面AC₁;得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FG．

③ ∵_______________

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，

④ ∵______________

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵________________

∴，即

 

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)①∵面A1EC⊥側面AC1， 　　   ②∵面ABC⊥側面AC1， 　　   ③∵BE∥側面AC1， 　　   ④∵BE∥AA1， 　　   ⑤∵AF=FC，　　    (Ⅱ)解：分別延長CE、C1B1交于點D，連結A1D． ∵∥， ∴ ∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°， ∠DA1B1=∠A1DB1=（180°－∠D B1A1）=30°， ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即⊥ ∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根據三垂線定理得DA1⊥A1C， 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　    ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°， ∴∠CA1C1=45°，即所求二面角為45°