【題目】如圖,在菱形中, 與相交于點(diǎn), 平面, .
(I)求證: 平面;
(II)當(dāng)直線與平面所成的角的余弦值為時(shí),求證: ;
(III)在(II)的條件下,求異面直線與所成的余弦值.
【答案】(I)見(jiàn)解析;(II)見(jiàn)解析;(III).
【解析】試題分析:
(I)要證與平面垂直,只要證與平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可,這由已知線面垂直可得一個(gè),又由菱形對(duì)角線垂直又得一個(gè),由此可證;(II)由已知線面垂直得平面,從而知為直線與平面所成的角,從而可得,然后計(jì)算出三線段的長(zhǎng),由勾股定理逆定理可得垂直;
(III)取中點(diǎn),則有,從而可得異面直線所成的角,再解相應(yīng)三角形可得.
試題解析:
(I)平面 ;
(II)平面直線與平面所成的角而且中, ,過(guò)作交于點(diǎn)中中中;
(III)取邊的中點(diǎn),連接且為所求的角或其補(bǔ)角,而在中, 中
異面直線與所成的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市規(guī)定,高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格.某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時(shí)間段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](單位:小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求抽取的20人中,參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù);
(2)從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人,求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】微信運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)手環(huán)的普及,增強(qiáng)了人民運(yùn)動(dòng)的積極性,每天一萬(wàn)步稱為一種健康時(shí)尚,某中學(xué)在全校范圍內(nèi)內(nèi)積極倡導(dǎo)和督促師生開(kāi)展“每天一萬(wàn)步”活動(dòng),經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的扎實(shí)落地工作后,學(xué)校想了解全校師生每天一萬(wàn)步的情況,學(xué)校界定一人一天走路不足千步為不健康生活方式,不少于千步為超健康生活方式者,其他為一般生活方式者,學(xué)校委托數(shù)學(xué)組調(diào)查,數(shù)學(xué)組采用分層抽樣的辦法去估計(jì)全校師生的情況,結(jié)合實(shí)際及便于分層抽樣,認(rèn)定全校教師人數(shù)為人,高一學(xué)生人數(shù)為人,高二學(xué)生人數(shù)人,高三學(xué)生人數(shù),從中抽取人作為調(diào)查對(duì)象,得到了如圖所示的這人的頻率分布直方圖,這人中有人被學(xué)校界定為不健康生活方式者.
(1)求這次作為抽樣調(diào)查對(duì)象的教師人數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生每人一天走路步數(shù)的中位數(shù)(四舍五入精確到整數(shù)步);
(3)校辦公室欲從全校師生中速記抽取人作為“每天一萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)對(duì)象,計(jì)劃學(xué)校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓勵(lì)元,超健康生活方式者表彰獎(jiǎng)勵(lì)元,一般生活方式者鼓勵(lì)性獎(jiǎng)勵(lì)元,利用樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,求這次校辦公室慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額恰好為元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cosxsin(x+ )﹣ .
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,f( )= ,B= ,a=1,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為迎接中國(guó)共產(chǎn)黨的十九大的到來(lái),某校舉辦了“祖國(guó),你好”的詩(shī)歌朗誦比賽.該校高三年級(jí)準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加,要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加,且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時(shí),甲和乙的朗誦順序不能相鄰,那么選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為( )
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市司法部門(mén)為了宣傳《憲法》舉辦法律知識(shí)問(wèn)答活動(dòng),隨機(jī)對(duì)該市18~68歲的人群抽取一個(gè)容量為n的樣本,并將樣本數(shù)據(jù)分成五組:[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68),再將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第1組,第2組,…,第5組,繪制了樣本的頻率分布直方圖;并對(duì)回答問(wèn)題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后,結(jié)果如下表所示.
組號(hào) | 分組 | 回答正確的人數(shù) | 回答正確的人數(shù)占本組的比例 |
第1組 | [18,28) | 5 | 0.5 |
第2組 | [28,38) | 18 | a |
第3組 | [38,48) | 27 | 0.9 |
第4組 | [48,58) | x | 0.36 |
第5組 | [58,68) | 3 | 0.2 |
(1)分別求出a,x的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人,則第2,3,4組每組應(yīng)各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,a= .
(1)求bcosC+ccosB的值;
(2)若cosA= ,求b+c的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的交通安全教育,對(duì)學(xué)校旁邊,兩個(gè)路口進(jìn)行了8天的檢測(cè)調(diào)查,得到每天各路口不按交通規(guī)則過(guò)馬路的學(xué)生人數(shù)(如莖葉圖所示),且路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)比路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)小2.
(1)求出路口8個(gè)數(shù)據(jù)中的中位數(shù)和莖葉圖中的值;
(2)在路口的數(shù)據(jù)中任取大于35的2個(gè)數(shù)據(jù),求所抽取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)不小于40的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.已知實(shí)數(shù)a,b,則“a>b”是“a2>b2”的必要不充分條件
B.“存在x0∈R,使得 ”的否定是“對(duì)任意x∈R,均有x2﹣1>0”
C.函數(shù) 的零點(diǎn)在區(qū)間 內(nèi)
D.設(shè)m,n是兩條直線,α,β是空間中兩個(gè)平面,若m?α,n?β,m⊥n,則α⊥β
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