Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，a，b∈R．
（1）曲線C：y=f（x）經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），且曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下試求函數(shù)g(x)=m[f(x)-

7

3

x](m∈R，m≠0)的極小值；
（3）若f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（1）曲線在P（1，2）處的切線與y=2x+1平行等價(jià)于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知g(x)=

m

3

(x3-2x2)，g′（x）=mx（x-

4

3

），分類討論：分m＞0時(shí)，m＜0時(shí)兩種情況討論，g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求g（x）的極小值
（3）由題意可得f′（x）=0即x²+2ax+b=0在（1，2）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，根據(jù)二次方程的實(shí)根分布可求

解答：（1）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=x²+2ax+b，
由題設(shè)知：

f(1)= 1 3 +a+b=2  f′(1)=1+2a+b=2

解得

a=- 2 3  b= 7 3 .

（4分）
（2）解：由（1）知g(x)=

m

3

(x3-2x2)，g′（x）=mx（x-

4

3

），
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞增，在（0，

4

3

）上遞減，
所以g（x）的極小值為g（

4

3

）=-

32

81

m；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞減，在（0，

4

3

）上遞增，
所以g（x）的極小值為g（0）=0；（8分）
（3）證明：因?yàn)閒（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根．
∴

f′(1)=1+2a+b＞0，(1) f′(2)=4+4a+b＞0，  (2) 1＜-a＜2，(3) △=4(a2-b)＞0. (4)

（11分）
由 （1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a²+a，
∴-2＜a＜-1，又a2+a=(a+

1

2

)2-

1

4

＜2，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范圍是（0，2）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查函數(shù)有極值的條件，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．