Question

已知圓C經(jīng)過(guò)（-2，0），（2，0）兩點(diǎn)，且圓心在直線y=x．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)（-1，1）的直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且滿足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的點(diǎn)M也在圓C上，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 可設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，把（-2，0），（2，0）兩點(diǎn)代入圓的方程，結(jié)合圓心在直線y=x可求a，b，r
（Ⅱ）若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y-1=k（x+1），聯(lián)立方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]，代入  

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

可求M，再由點(diǎn)M在圓C上，代入可求k；若直線l斜率不存在，可求直線方程，從而可求

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題有

b=a (-2-a)2+b2=r2 (2-a)2+b2=r2

，解得：a=b=0，r=2
∴圓C的方程是 x²+y²=4
（Ⅱ）若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y-1=k（x+1）

y-1=k(x+1) x2+y2=4

可得，（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
則x1+x2=

2k(k+1)

1+k2

，x1x2=

k2+2k-3

1+k2

∴y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]
=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2
=

2k+4

1+k2

-3
由  

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

有 x0=

x1+ 3 x2

2

，y0=

y1+ 3 y2

2

∵點(diǎn)M在圓C上，
∴(

x1+ 3 x2

2

)2+(

y1+ 3 y2

2

)2=4
又 

x

2 1

+

y

2 1

=4，

x

2 2

+

y

2 2

=4代入上式化簡(jiǎn)得：x₁x₂+y₁y₂=0
∴

k2+2k-3

1+k2

+

2k+4

1+k2

-3=0
解得k=1
∴直線l的方程是 x-y+2=0
若直線l斜率不存在，則A(-1，

3

)，B(-1，-

3

)，M(

-1- 3

2

，

3 -3

2

)
但M不在圓C上，不合題意．
綜上知，直線l的方程是 x-y+2=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解圓的方程，直線與圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合性試題