Question

如圖邊長為2的正方形花園的一角是以A為中心，1為半徑的扇形水池．現需在其余部分設計一個矩形草坪PNCQ，其中P是水池邊上任意一點，點N、Q分別在邊BC和CD上，設∠PAB為θ．
（I）用θ表示矩形草坪PNCQ的面積，并求其最小值；
（II）求點P到邊BC和AB距離之比的最小值．

Answer 1

解：（I）因為∠PAB為θ，|AP|=1．
∴AM=COSθ，PM=sinθ，
PN=2-cosθ，PQ=2-sinθ，
∴矩形草坪PNCQ面積S=（2-cosθ）（2-sinθ）
=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
=4-2（sinθ+cosθ）+
=-2sin（）+
=sin²（）-2sin（）+
=-2+．
∵θ∈[0，]，∴∈[]．sin（）∈[，1]．
∴當sin（）=1，即θ=時，面積有最小值此時s==．
故當，最小值為；（6分）
（II）∵
∴，令1-2cosθ=0?．

θ	0
		- ↘	0 極小	+ ↗

所以當時，（12分）
分析：（I）先利用∠PAB為θ，|AP|=1?AM=COSθ，PM=sinθ，?矩形草坪PNCQ面積S=（2-cosθ）（2-sinθ），向下整理得-2+，再利用二次函數在閉區(qū)間上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面積的最小值；
（II）先求得，再求其導函數，利用其導函數研究出原函數在給定區(qū)間上的單調性，進而求出其最小值．
點評：本題主要考查利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，是對二次函數，三角函數等知識的綜合考查，屬于中檔題．