【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的比值為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)為軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1） （2）存在，3個(gè)

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)根據(jù)所給條件列出方程，化簡(jiǎn)即可.

（2）由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，不妨設(shè)，則直線(xiàn)所在的方程為. 聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，消元即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的長(zhǎng)，同理可得，再由得到方程，解得.

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，

所以，

平方并化簡(jiǎn)，得.

所以軌跡的方程為.

（2）存在. 理由如下：

由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，不妨設(shè)，則直線(xiàn)所在的方程為.

聯(lián)立方程消去，并整理得，

解得，

將代入可得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，則，解得或.

當(dāng)斜率時(shí)，斜率；當(dāng)斜率時(shí)，斜率；當(dāng)斜率時(shí)，斜率.

綜上所述，符合條件的三角形有3個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍．實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是

A. 新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B. 新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓 的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為4，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，原點(diǎn)為，橢圓的動(dòng)弦過(guò)焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點(diǎn)為，過(guò)且垂直于線(xiàn)段的直線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn).

（Ⅰ）證明：點(diǎn)在定直線(xiàn)上；

（Ⅱ）當(dāng)最大時(shí)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校學(xué)生會(huì)開(kāi)展了一次關(guān)于“垃圾分類(lèi)”問(wèn)卷調(diào)查的實(shí)踐活動(dòng)，組織部分學(xué)生干部在幾個(gè)大型小區(qū)隨機(jī)抽取了共50名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)束后，學(xué)生會(huì)對(duì)問(wèn)卷結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并將其中一個(gè)問(wèn)題“是否知道垃圾分類(lèi)方法（知道或不知道）”的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

年齡（歲）

頻數(shù)

14

12

8

6

知道的人數(shù)

3

4

8

7

3

2

（1）求上表中的的值，并補(bǔ)全右圖所示的的頻率直方圖；

（2）在被調(diào)查的居民中，若從年齡在的居民中各隨機(jī)選取1人參加垃圾分類(lèi)知識(shí)講座，求選中的兩人中僅有一人不知道垃圾分類(lèi)方法的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：，且a1=1，則稱(chēng){an}為一個(gè)X數(shù)列．對(duì)于一個(gè)X數(shù)列{an}，若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：b1=1，且，，則稱(chēng){bn}為{an}的伴隨數(shù)列．

（Ⅰ）若X數(shù)列{an}中a2=1，a3=0，a4=1，寫(xiě)出其伴隨數(shù)列{bn}中b2，b3，b4的值；

（Ⅱ）若{an}為一個(gè)X數(shù)列，{bn}為{an}的伴隨數(shù)列，證明：“{an}為常數(shù)列”是“{bn}為等比數(shù)列”的充要條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若有極值點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車(chē)輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車(chē)在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車(chē)中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車(chē)中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車(chē)中，在9:20~10:00之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車(chē)輛在每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車(chē)在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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