【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若關于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：.

【答案】(1)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù).(2).(3)證明見解析.

【解析】分析：（1）由函數(shù)的解析式可得，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)；

（2）令，則，，而，據(jù)此可得.

（3）原不等式等價于.由（1）得，令，則，據(jù)此即可證得題中的結論.

詳解：（1）函數(shù)定義域為，；

在區(qū)間上，為增函數(shù)；

在區(qū)間上，為減函數(shù)；

（2）令，

在區(qū)間，為，為減函數(shù)；

在區(qū)間，為，為增函數(shù)；

，

由（1）得，

若關于的方程有實數(shù)解等價于.

即：.

（3）原不等式等價于.

由（1）得，當且僅當時取等號，

即，當且僅當時取等號.

令，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，即，

由此得，即.

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