Question

【題目】已知數(shù)列中，，前n項和為，且.

（1）求；

（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；

（3）設，試問是否存在正整數(shù)p，q（其中），使成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）存在唯一正整數(shù)數(shù)對，，，使，，成等比數(shù)列；詳見解析

【解析】

（1）令，即可求；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的等差中項法即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；

（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式，分類討論，通過數(shù)列的單調性求出數(shù)列最值，結合題意判斷求解，即可得到結論．

（1）令，則.

（2）由，即，①

得.②

②-①，得.③

于是，.④

③+④，得，即.

又，，，

所以，數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列.

所以，.

（3）假設存在正整數(shù)數(shù)組（其中），使成等比數(shù)列，

則成等差數(shù)列，于是.

時，，故數(shù)列為遞減數(shù)列，

時，，故數(shù)列為遞減數(shù)列，

，，即時，.

又當時，，故無正整數(shù)q使得成立.

綜上得，存在唯一正整數(shù)數(shù)對，，，使，，成等比數(shù)列.