已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個虛數(shù)根x1、x2,若|x1-x2|=2,且2+ai=c-1+i,求方程的根x1、x2
分析:根據(jù)2+ai=c-1+i,a,c是實數(shù),可求出a,c的值,再根據(jù)韋達(dá)定理,求出x1+x1,x1x2,用含b的式子表示,再代入|x1-x2|=2中,即可求出b值,把a(bǔ),b,c的值代入方程ax2+bx+c=0,利用求根公式就可求出x1、x2
解答:解 由題可知,a、b、c是實數(shù),又2+ai=c-1+i,∴
a=1
c=3

∵x1、x2是方程x2+bx+3=0的兩個虛數(shù)根,|x1-x2|=2
△=b2-12<0
x1+x2=-b
x1x2=3
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
.         
∴|x1-x2|2=|(x1-x22-4x1x2|,即|b2-12|=4,解得b2=8(b2=16舍去),b=±2
2

當(dāng)b=2
2
時,解x2+2
2
x+3=0
,得x=
-2
2
±
4
i
2
=-
2
±i

即方程的根為-
2
+i和-
2
-i
.                       
當(dāng)b=-2
2
時,解x2-2
2
x+3=0
,得x=
2
2
±
4
i
2
=
2
±i
,
即方程的根為
2
+i和
2
-i
點評:本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
1
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