精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為
c
a
=
2
2
，及橢圓的定義得到又2a+2c=4(
2
+1)，解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)可求得該雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），根據(jù)斜率公式求得k1、k2，把點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線上，即可證明結(jié)果；
（Ⅲ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則可求出直線CD的方程為y=
1
k
（x-2），聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為
c
a
=
2
2
，
得a=
2
c，又2a+2c=4(
2
+1)，
所以可解得a=2
2
，c=2，所以b2=a2-c2=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
-
y2
4
=1．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），
則k1=
y0
x0+2
，k2=
y0
x0-2
，
∴k1•k2=
y0
x0+2
y0
x0-2
=
y02
x02-4
，
又點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線上，
∴
x02
4
-
y02
4
=1，即y02=x02-4，
∴k1•k2=
y02
x02-4
=1．
（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則由（II）知k1•k2=1，
∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=
1
k
（x-2），
由方程組
y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則由韋達(dá)定理得，x1+x2=
-8k2
1+2k2
，x1•x2=
8k2-8
2k2+1
，
∴AB=
1+k2
(x1+x2)2-4x1 x2
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
，
同理可得CD=
1+(
1
k
)2
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+
1
k2
)
2
1
k2
+1
=
4
2
(1+k2)
k2+2
，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
-
4
2
(1+k2)
k2+2
=
3+3k2
4
2
(k2+1)
=
3
2
8
，
∴存在常數(shù)λ=
3
2
8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．其中問題（III）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長軸的左右兩頂點(diǎn)，P為橢圓上意一點(diǎn)（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點(diǎn)H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明由..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的一個長軸端點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)．當(dāng)MF2⊥F1F2時，原點(diǎn)O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上變化時，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點(diǎn)，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，當(dāng)OQ1⊥OQ2時，求r的值．（用b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案