【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),求證:.
【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);(2)見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)當(dāng)a=時(shí),求出f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=x﹣f(x)=ex﹣(a﹣1)x,利用導(dǎo)數(shù)證明F(x)≥0即可.
詳解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-ex.
令f′(x)=1-ex=0,得x=0.
當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).
(2)證明:令F(x)=x-f(x)=ex-(a-1)x.
①當(dāng)a=1時(shí),F(xiàn)(x)=ex>0,∴f(x)≤x成立;
②當(dāng)1<a≤1+e時(shí),F(xiàn)′(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a-1),
當(dāng)x<ln(a-1)時(shí),F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x>ln(a-1)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,
∴F(x)在(-∞,ln(a-1))上單調(diào)遞減,在(ln(a-1),+∞)上單調(diào)遞增,
∴F(x)≥F(ln(a-1))=eln(a-1)-(a-1)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)],
∵1<a≤1+e,∴a-1>0,1-ln(a-1)≥1-ln[(1+e)-1]=0,
∴F(x)≥0,即f(x)≤x成立.
綜上,當(dāng)1≤a≤1+e時(shí),有f(x)≤x.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,函數(shù).
若的最大值為0,記,求的值;
當(dāng)時(shí),記不等式的解集為M,求函數(shù),的值域是自然對(duì)數(shù)的底數(shù);
當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)= 給出下列結(jié)論: ①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,8];
②對(duì)任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( , ),使得直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有5個(gè)公共點(diǎn);
④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)若函數(shù)在時(shí)有極值,求表達(dá)式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種設(shè)備隨著使用年限的增加,每年的維護(hù)費(fèi)相應(yīng)增加現(xiàn)對(duì)一批該設(shè)備進(jìn)行調(diào)查,得到這批設(shè)備自購(gòu)入使用之日起,前五年平均每臺(tái)設(shè)備每年的維護(hù)費(fèi)用大致如表:
年份年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護(hù)費(fèi)萬(wàn)元 |
Ⅰ求y關(guān)于t的線性回歸方程;
Ⅱ若該設(shè)備的價(jià)格是每臺(tái)5萬(wàn)元,甲認(rèn)為應(yīng)該使用滿五年換一次設(shè)備,而乙則認(rèn)為應(yīng)該使用滿十年換一次設(shè)備,你認(rèn)為甲和乙誰(shuí)更有道理?并說(shuō)明理由.
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , E,F(xiàn)分別是上底面A1B1C1D1和側(cè)面CDD1C1的中心,若 =x +y +z ,則x+y+z= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=lg(﹣x2+4x﹣3)的定義域?yàn)锳,函數(shù)y= ,x∈(0,m)的值域?yàn)锽.
(1)當(dāng)m=2時(shí),求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題: ①若a<b,則a2<b2;
②若a≥b>﹣1,則 ≥ ;
③若正整數(shù)m和n滿足m<n,則 ≤ ;
④若x>0,且x≠1,則lnx+ ≥2.
其中所有真命題的序號(hào)是
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