Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦 長(zhǎng)為1，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，且

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得

2b2 a =1 a2-b2 a2 = 3 4 .

解得

a=2 b=1.

，由此能得到所求的橢圓方程．
（Ⅱ）由

a2-b2

a2

=

3

4

，得a=2b，c=

3

b．設(shè)直線l方程為：y=k(x-

3

b)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），得P點(diǎn)坐標(biāo)(0，-

3

kb)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

b，0)，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

PA

=λ1

AF

，所以(x1，y+

3

kb)=λ1(

3

b-x1，-y1)．因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

PB

=λ2

BF

，所以(x2，y+

3

kb)=λ2(

3

b-x2，-y2)由此能求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

2b2 a =1 a2-b2 a2 = 3 4 .

解得

a=2 b=1.

（2分）
所以所求的橢圓方程為：

x2

4

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

a2-b2

a2

=

3

4

，得a=2b，c=

3

b．
設(shè)直線l方程為：y=k(x-

3

b)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），得P點(diǎn)坐標(biāo)(0，-

3

kb)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

b，0)
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

PA

=λ1

AF

，所以(x1，y+

3

kb)=λ1(

3

b-x1，-y1)
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

PB

=λ2

BF

，所以(x2，y+

3

kb)=λ2(

3

b-x2，-y2)．（6分）
得λ1=

x 1

3 b-x1

，λ2=

x 2

3 b-x2

．（7分）
由

x2 4b2 + y2 b2 =1 y=k(x- 3 b).

（8分）
得(1+4k2)x2-8

3

k2bx+12k2b2-4b2=0．
所以x1+x2=

8 3 k2b

1+4k2

，x1x2=

12k2b2-4b2

1+4k2

．（10分）
λ1+λ2=

x 1

3 b-x1

+

x 2

3 b-x2

=

3 b(x1+x2)-2x1x2

x1x2- 3 b(x1+x2)+3b2

=

24k2b2 1+4k2 - 24k2b2-8b2 1+4k2

12k2b2-4b2 1+4k2 - 24k2b2 1+4k2 +3b2

=-8．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．