【題目】已知四邊形ABCD為邊長等于的正方形,PA⊥平面ABCD,QCPA,且異面直線QDPA所成的角為30°,則四棱錐QABCD外接球的表面積等于( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

先找到異面直線QDPA所成的角為∠DQC=30°,求出QC長,再由QC⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,所以四棱錐QABCD的外接球與長寬高分別為的長方形的外接球相同,然后由長方體外接半徑公式算出外接球的半徑,從而求出表面積.

解:因?yàn)?/span>QCPA,所以異面直線QDPA所成的角為∠DQC=30°,

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為邊長等于的正方形

所以QC =

又因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,QCPA,得QC⊥平面ABCD

所以四棱錐QABCD的外接球與長寬高分別為、的長方形的外接球相同

所以外接球的半徑為

所以四棱錐QABCD外接球的表面積

故選:C.

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A.B.C.D.

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1)證明:;

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