已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根x=
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,則f(x)=0
在區(qū)間[0,2013]內(nèi)根的個數(shù)為( 。
分析:由條件推出f(1-x)=f(1+x),進(jìn)而推出f(x)為偶函數(shù),且f(x)是周期等于2的周期函數(shù),根據(jù)f(
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)=0,求出f(
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2
))=0,從而得到函數(shù)f(x)在一個周期的零點(diǎn)個數(shù),且函數(shù)f(x)在每兩個整數(shù)之間都有一個零點(diǎn),從而得到f(x)=0在區(qū)間[0,2013]內(nèi)根的個數(shù).
解答:解:∵f(x)=f(-x+2),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,即f(1-x)=f(1+x).
又f(x+1)=f(x-1),∴f(x-1)=f(1-x),即f(x)=f(-x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
再由f(x+1)=f(x-1)可得f(x+2)=f(x),故函數(shù)f(x)是周期等于2的周期函數(shù),
∵f(
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)=0,
∴f(-
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)=0,再由周期性得f(-
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+2)=f(
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)=0,
故函數(shù)f(x)在一個周期[0,2]上有2個零點(diǎn),即函數(shù)f(x)在每兩個整數(shù)之間都有一個零點(diǎn),
∴f(x)=0在區(qū)間[0,2013]內(nèi)根的個數(shù)為2013,
故選C;
點(diǎn)評:本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷,函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用,抽象函數(shù)的應(yīng)用,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x2-2ax+5(a>1)
(Ⅰ)若f(x)的定義域和值域均為[1,a],求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),且對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在R上的函數(shù),?x∈R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函數(shù)f(x+1)的圖象關(guān)于直線x+1=0對稱,且f(-2)=2012,則f(2012)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)已知f(x)=log
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x
,當(dāng)點(diǎn)M(x,y)在y=f(x)的圖象上運(yùn)動時,點(diǎn)N(x-2,ny)在函數(shù)y=gn(x)的圖象上運(yùn)動(n∈N*).
(1)求y=gn(x)的表達(dá)式;
(2)若方程g1(x)=g2(x-2+a)有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)Hn(x)=2gn(x),函數(shù)F(x)=H1(x)+g1(x)(0<a≤x≤b)的值域?yàn)?span id="fnxnznb" class="MathJye">[log2
52
b+2
,log2
42
a+2
],求實(shí)數(shù)a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若數(shù)學(xué)公式,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/769.png' />,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高三數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識訓(xùn)練(20)(解析版) 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214609557716869/SYS201310232146095577168019_ST/2.png">,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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