【題目】已知圓，橢圓的短半軸長等于圓的半徑，且過右焦點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若動(dòng)直線與圓相切，且與相交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到弦的垂直平分線距離的最大值．

【答案】（1）（2）最大值為.

【解析】

（1）由條件知，，求出過右焦點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得出，從而，即可得橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)到弦的垂直平分線的距離為，

①若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以，若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以．

②設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)差法求出，進(jìn)而得出直線的方程為，再根據(jù)直線與圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，得出，從而得出弦的垂直平分線方程為，最后再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出點(diǎn)到弦的垂直平分線的距離，結(jié)合運(yùn)用基本不等式求出距離的最大值.

解：（1）由條件知，所以，

設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

則過該點(diǎn)與圓相切于點(diǎn)的直線方程為：

，

化簡得：，

圓到直線的距離等于半徑1，即，

解得:，從而 ，

所以橢圓C的方程為： .

（2）設(shè)點(diǎn)到弦的垂直平分線的距離為，

①若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以，

若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以．

②設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

由點(diǎn)在橢圓上，得

①-②得，，

即，

所以直線的方程為：，

化簡得：.

因?yàn)橹本�與圓相切，所以，

化簡得：，

又因?yàn)橄?/span>的垂直平分線方程為：，

即.

所以，點(diǎn)到弦的垂直平分線的距離為：

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．

所以點(diǎn)到弦的垂直平分線的距離最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)數(shù)列A： ， ,… ().如果對小于()的每個(gè)正整數(shù)都有 ＜ ，則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.

（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；

（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則 ；

（3）證明：若數(shù)列A滿足- ≤1（n=2,3, …,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于 -.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），將C上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>3倍，得曲線C1．以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求C1的極坐標(biāo)方程

（2）設(shè)M，N為C1上兩點(diǎn)，若OM⊥ON，求的值．

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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1(－2,0)和F2(2,0)的距離之和為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）設(shè)N(0,2)，過點(diǎn)P(－1，－2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1＋k2的值．

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【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

合計(jì)

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

合計(jì)

60

50

110

由K2＝，

附表：

P(K2≥k0)

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l的距離的最大值.

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【題目】設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i＝1，2，…，10)個(gè)人的水桶需Ti分鐘，假設(shè)Ti各不相同，當(dāng)水龍頭只有一個(gè)可用時(shí)，應(yīng)如何安排他(她)們的接水次序，使他(她)們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括等待時(shí)間和自己接水所花費(fèi)的時(shí)間)最少(　　)

A. 從Ti中最大的開始，按由大到小的順序排隊(duì)

B. 從Ti中最小的開始，按由小到大的順序排隊(duì)

C. 從靠近Ti平均數(shù)的一個(gè)開始，依次按取一個(gè)小的取一個(gè)大的的擺動(dòng)順序排隊(duì)

D. 任意順序排隊(duì)接水的總時(shí)間都不變

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【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出人，并將這人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4 組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示

(1) 求的值

(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查，求在第1組已被抽到人的前提下，第3組被抽到人的概率；

（3）若從所有參與調(diào)查的人中任意選出人，記關(guān)注“生態(tài)文明”的人數(shù)為，求的分布列與期望.

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【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

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