某漁場魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸,為保證魚群的生長空間,實(shí)際養(yǎng)殖量x要小于m,留出適當(dāng)?shù)目臻e量,空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值叫空閑率,已知魚群的年增加量y(y噸)和實(shí)際養(yǎng)殖量x(噸)與空閑率的乘積成正比(設(shè)比例系數(shù)k>0).
(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;
(2)求魚群年增長量的最大值;
(3)當(dāng)魚群年增長量達(dá)到最大值時(shí),求k的取值范圍.
分析:(1)由題意求出空閑率,然后利用正比例關(guān)系得y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)利用配方法求二次函數(shù)的最值;
(3)魚群年增長量達(dá)到最大值時(shí),應(yīng)保證實(shí)際養(yǎng)殖量和增加量的和在0到m之間,由此列不等式求解k的取值范圍.
解答:解:(1)由題意得空閑率為
m-x
m
,則y=kx•
m-x
m
=kx(1-
x
m
)
,0<x<m;
(2)∵y=-
k
m
x2+kx=-
k
m
(x-
m
2
)2+
mk
4
,
∴當(dāng)x=
m
2
時(shí),ymax=
mk
4

(3)由題意得:0<x+y<m,即0<
m
2
+
mk
4
<m
,解得-2<k<2.
又∵k>0,∴0<k<2.
∴k的取值范圍是(0,2).
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,考查了利用配方法求二次函數(shù)的最值,解答的關(guān)鍵是對題意的理解,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為2噸,為保證魚群的生長空間,實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y噸和魚群實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為
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.(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.
(2)求魚群年增長量的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為2噸,為保證魚群的生長空間,實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y噸和魚群實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為數(shù)學(xué)公式.(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.
(2)求魚群年增長量的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某漁場的最大養(yǎng)殖量是100噸魚,為保證魚群的生長空間,實(shí)際養(yǎng)殖量應(yīng)當(dāng)比100噸少,以留出適當(dāng)?shù)目臻e量,已知魚群的年增長量與實(shí)際養(yǎng)殖量和空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為,則魚群年增長量的最大值等于         。

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