Question

【題目】在四棱柱中，，且，平面，.

（1）證明：.

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)三角形全等證明AC⊥BD，結(jié)合可得AC⊥平面，故而；（2）以，的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，利用線(xiàn)面角的向量公式求解即可

（1）證明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，

又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，

∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，

∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

又因?yàn)?/span>平面，所以，又所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）以，的交點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)O作平行于的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）及，知，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，由，得，

所以，令，得.

設(shè)與平面所成的角為，則 .