【題目】(本小題13分)已知數(shù)列滿足:,,且.記
集合.
(Ⅰ)若,寫出集合的所有元素;
(Ⅱ)若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù);
(Ⅲ)求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(III )8.
【解析】(Ⅰ)由已知可知:
(Ⅱ)因?yàn)榧?/span>存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)是3的倍數(shù),由已知,可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意,是3的倍數(shù),當(dāng)時(shí),則M中的所有元素都是3的倍數(shù),如果時(shí),因?yàn)?/span>或,所以是3的倍數(shù),于是是3的倍數(shù),類似可得,都是3的倍數(shù),從而對(duì)任意,是3的倍數(shù),因此的所有元素都是3的倍數(shù).
(Ⅲ)由于中的元素都不超過(guò)36,由,易得,類似可得,其次中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外,都是4的倍數(shù),因?yàn)榈诙䝼(gè)數(shù)必定為偶數(shù),由的定義可知,第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù),另外,M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知,和除以9的余數(shù)一樣,
①若中有3的倍數(shù),由(2)知:所有的都是3的倍數(shù),所以都是3的倍數(shù),所以除以9的余數(shù)為為3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12,除以9余6且是4的倍數(shù)只有24,除以9余0且是4的倍數(shù)只有36,則M中的數(shù)從第三項(xiàng)起最多2項(xiàng),加上前面兩項(xiàng),最多4項(xiàng).
②中沒(méi)有3的倍數(shù),則都不是3的倍數(shù),對(duì)于除以9的余數(shù)只能是1,4,7,2,5,8中的一個(gè),從起,除以9的余數(shù)是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... ,不斷的6項(xiàng)循環(huán)(可能從2,4,8,7或5開始),而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的項(xiàng)加上前兩項(xiàng)最多8項(xiàng),則時(shí),,項(xiàng)數(shù)為8,所以集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解本校高一學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的情況,按10%的比例對(duì)該校高一600名學(xué)生進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì),將樣本數(shù)據(jù)分為5組:第一組[0,2),第二組[2,4),第三組[4,6),第四組[6,8),第五組[8,10),并將所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求圖中的x的值;
(Ⅱ)估計(jì)該校高一學(xué)生每周課外閱讀的平均時(shí)間;
(Ⅲ)為了進(jìn)一步提高本校高一學(xué)生對(duì)課外閱讀的興趣,學(xué)校準(zhǔn)備選拔2名學(xué)生參加全市閱讀知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)決定先在第三組、第四組、第五組中用分層抽樣的放法,共隨機(jī)抽取6名學(xué)生,再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生代表學(xué)校參加全市競(jìng)賽,在此條件下,求第三組學(xué)生被抽取的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】霧霾大氣嚴(yán)重影響人們的生活,某科技公司擬投資開發(fā)新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品,策劃部制定投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,公司打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為和,可能的最大虧損率分別為和,投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)9萬(wàn)元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過(guò)萬(wàn)元.
Ⅰ若投資人用x萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目,y萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目,試寫出x,y所滿足的條件,并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出表示x,y范圍的圖形.
Ⅱ根據(jù)的規(guī)劃,投資公司對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資多少萬(wàn)元,才能使可能的盈利最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= (m>0).
(1)當(dāng)m=1時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線互相垂直,求n的值;
(2)若對(duì)任意x>0,恒有|f(x)|≥|g(x)|成立,求實(shí)數(shù)n的值及實(shí)數(shù)m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為正方形,四邊形為直角梯形,且, ,平面平面, .
()求證: 平面.
()若二面角為直二面角,
(i)求直線與平面所成角的大。
(ii)棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求證:BC1⊥平面AA1C1C
(2)點(diǎn)D是B1C1的中點(diǎn),求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線 ,曲線C2的參數(shù)方程為: ,(θ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系.
(1)求C1 , C2的極坐標(biāo)方程;
(2)射線 與C1的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的交點(diǎn)為B,求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面ABCD,且∠ABC= .
(1)求證:BC∥平面AB1C1;
(2)求證:平面A1ABB1⊥平面AB1C1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,,點(diǎn)M在邊DC上,點(diǎn)F在邊AB上,且,垂足為E,若將沿AM折起,使點(diǎn)D位于位置,連接,得四棱錐.
Ⅰ求證:;
Ⅱ若,直線與平面ABCM所成角的大小為,求直線與平面ABCM所成角的正弦值.
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