Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=

x

（1）求當(dāng)x＜0時，f（x）的表達式
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）將所求轉(zhuǎn)化到已知范圍，結(jié)合奇偶性得解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明．

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0∴f(-x)=

-x

又∵f（x）是R上的偶函數(shù)∴f（-x）=f（x）
∴x＜0時，f(x)=

-x

．
（2）f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增 
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞）
∴

x1

+

x2

＞0，
又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題考察函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬中檔題．（1）所用思想為：將未知轉(zhuǎn)化為已知來求解；（2）中應(yīng)注意分子有理化化簡，不化簡是不給得分的．