【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),記f[2](x)=f(f(x)),例:f(x)=x2+1,
則f[2](x)=(f(x))2+1=(x2+1)2+1;
(1)f(x)=x2﹣x,解關(guān)于x的方程f[2](x)=x;
(2)記△=(b﹣1)2﹣4ac,若f[2](x)=x有四個不相等的實(shí)數(shù)根,求△的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意:當(dāng)f(x)=x2﹣x時,則:f[2](x)=(x2﹣x)2﹣(x2﹣x)=x4﹣2x3+x;

那么:f[2](x)=x;即:x4﹣2x3+x=x;

解得:x=0或x=2


(2)解:根據(jù)新類型的定義:f(f(x))=x,令f(x)﹣x=t,

則f(x)﹣t=x,f(x)=t+x,

則有:f(t+x)=f(x)﹣t.即a(t+x)2+b(t+x)+c=ax2+bx+c﹣t,

化簡可得:at2+(2ax+b+1)t=0,

解得:t=0或t=

當(dāng)t=0時,即ax2+bx+c=x,有兩個不相同的實(shí)數(shù)根,可得(b﹣1)2﹣4ac>0.

當(dāng)t= 時,ax2+bx+c=x ,整理可得:

∴△= =(b+1)2﹣4ac+4(b+1)=(b﹣1)2﹣4ac﹣4

∵有兩個不相同的實(shí)數(shù)根△>0.

∴(b﹣1)2﹣4ac﹣4>0,即(b﹣1)2﹣4ac>4.

綜上所得△=(b﹣1)2﹣4ac的取值范圍是(4,+∞)


【解析】(1)根據(jù)新類型的定義,求解f[2](x),再解方程即可.(2)換元思想,根據(jù)新類型的定義:f(f(x))=x,令f(x)﹣x=t,則f(x)﹣t=x,f(x)=t+x,則有:f(t+x)=f(x)﹣t.帶入二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),求出t,t又是二次函數(shù)的值,即ax2+bx+c=t
函數(shù)必有兩個根,△>0.化簡可得(b﹣1)2﹣4ac的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)當(dāng)k=2時,求炮的射程;
(2)求炮的最大射程;
(3)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大。滹w行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時,炮彈可以其中它?請說明理由.

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(Ⅰ)設(shè)(其中的導(dǎo)函數(shù)),判斷上的單調(diào)性;

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(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計算本次考試成績的平均分;

(Ⅱ)已知本次全?荚嚦煽冊內(nèi)的人數(shù)為,試確定全校的總?cè)藬?shù);

(Ⅲ)若本次考試抽查的人中考試成績在內(nèi)的有名女生,其余為男生,從中選擇兩名學(xué)生,求選擇一名男生與一名女生的概率.

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【題目】如圖,在三棱柱中,每個側(cè)面均為正方形, 為底邊的中點(diǎn), 為側(cè)棱上的點(diǎn),且滿足平面.

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(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式;

(2)當(dāng)x為何值時,這次行車的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值.

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(Ⅰ)求證: 平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.

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【題目】如圖所示的多面體中, 是平行四邊形, 是矩形, , , .

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(Ⅱ)若,求與平面所成角的正弦值.

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(1)求實(shí)數(shù)m和n的值;
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