已知函數(shù).
⑴當時,①若的圖象與的圖象相切于點,求及的值;
②在上有解,求的范圍;
⑵當時,若在上恒成立,求的取值范圍.
(1)①,②時,;時, (2)時,;時,..
解析試題分析:(1)①本題為曲線切線問題,一般從設切點出發(fā),利用切點在切線上.切點在曲線上,切點處的導數(shù)值為切線的斜率三個方面建立等量關系,從而解出,②方程有解問題,一般利用分離法,求函數(shù)值域解決.由于定義域不定,需討論極值為零的點是否在定義域內,這決定了單調區(qū)間,也決定了最值.(2)不等式恒成立問題,往往轉化為最值問題,這也需要分離變量. 即,在求函數(shù)值域時,有兩個難點,一是判斷極值為零的點,二是討論極值為零的點是否在內.
試題解析:⑴
①, 3分
②即與在上有交點…4分
,時在上遞增,;
時在上遞增,在上遞減且, ……7分
時,;時, 8分
⑵即,
即在上恒成立, 9分
令,
令,則為單調減函數(shù),且, 12分
∴當時,,單調遞增,
當時,,單調遞減, 13分
若,則在上單調遞增,
∴,∴;
若,則在上單調遞增,單調遞減,
∴,∴ 15分
∴時,;時,. 16分
考點:利用導數(shù)求切線,利用導數(shù)求最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),(為常數(shù)),直線與函數(shù)、的圖象都相切,且與函數(shù)圖象的切點的橫坐標為.
(1)求直線的方程及的值;
(2)若 [注:是的導函數(shù)],求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;
(3)當時,試討論方程的解的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知向量m=(ex,ln x+k),n=(1,f(x)],m∥n(k為常數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(x)=xexf′(x).
(1)求k的值及F(x)的單調區(qū)間;
(2)已知函數(shù)g(x)=-x2+2ax(a為正實數(shù)),若對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(1)已知函數(shù)f(x)=ex-1-tx,?x0∈R,使f(x0)≤0,求實數(shù)t的取值范圍;
(2)證明:<ln<,其中0<a<b;
(3)設[x]表示不超過x的最大整數(shù),證明:[ln(1+n)]≤[1++ +]≤1+[lnn](n∈N*).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(Ⅰ)當a=4時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅲ)若存在,使方程成立,求實數(shù)a的取值范圍(其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))
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