Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知拋物線C的方程C：y2="2" p x（p＞0）過點(diǎn)A（1，-2）.

（I）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。

【答案】（I）拋物線C的方程為，其準(zhǔn)線方程為（II）符合題意的直線l 存在，其方程為2x+y-1 =0.

【解析】

試題（Ⅰ）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法，只需一個(gè)獨(dú)立條件確定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由拋物線方程確定其準(zhǔn)線方程：，（Ⅱ）由題意設(shè)：，先由直線OA與的距離等于根據(jù)兩條平行線距離公式得：解得，再根據(jù)直線與拋物線C有公共點(diǎn)確定

試題解析：解 （1）將（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，

所以p＝2．

故所求的拋物線C的方程為

其準(zhǔn)線方程為．

（2）假設(shè)存在符合題意的直線，

其方程為．

由得．

因?yàn)橹本�與拋物線C有公共點(diǎn)，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得．

另一方面，由直線OA到的距離

可得，解得．

因?yàn)椋?/span>1[－，＋∞），1∈[－，＋∞），

所以符合題意的直線存在，其方程為．

考點(diǎn)：拋物線方程，直線與拋物線位置關(guān)系

【名師點(diǎn)睛】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程

（1）方法：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可．

（2）流程：因?yàn)閽佄锞�方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量．

提醒：求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2=mx或x2=my（m≠0）．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過橢圓左焦點(diǎn)交橢圓于，為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，當(dāng)直線時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，得到的一個(gè)關(guān)系式，結(jié)合求得的關(guān)系式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，由此求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）根據(jù)（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得和的斜率，寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式求得，由兩點(diǎn)間距離公式求得，進(jìn)而求得三角形的面積.

（1）由題意知，即，，

即，

∵在橢圓上，∴，，，

所以橢圓的方程為.

（2），則，

，∴,

∴直線的方程為：，

將其代入：得：

設(shè)，

∴，,

，

又,

∴.