Question

【題目】如圖，在以為頂點的五面體中，面為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）.

【解析】

（1）推導出AF⊥DF，AF⊥FE，由線面垂直的判定定理即可證明AF⊥平面EFDC．

（2）過D作DG⊥EF，由DG⊥平面ABEF，以G為坐標原點，的方向為x軸正方向，||為單位長度，建立空間直角坐標系G﹣xyz，利用向量法求出平面BCE的法向量，則可求得直線BF與平面BCE所成角的正弦值．

（1）面ABEF為正方形

又，而,

面,面

面

（2），則由（1）知面平面，過作，垂足為，平面．

以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由（1）知為二面角的平面角，故，又，則，，，，．

由已知，，平面．又平面平面，

故，．由，可得平面，

為二面角的平面角，．．

，，．

設是平面的法向量，則，即，

可取 .

則．

直線與平面BCE所成角的正弦值為 .