Question

15．（1班、3班做）已知函數f（x）=-$\frac{π}{12x}$，g（x）=xcosx-sinx，當x∈[-3π，3π]時，方程f（x）=g（x）的根的個數是（　�。�

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得：函數f（x）=-$\frac{π}{12x}$，在x∈[-3π，3π]上是奇函數且是反比例函數，g（x）=xcosx-sinx，在x∈[-3π，3π]上是奇函數，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，可得其單調性．作出函數圖象，可得：函數f（x）與g（x）的圖象共有6個交點．即可得出．

解答 解：由題意可得：
函數f（x）=-$\frac{π}{12x}$，
在x∈[-3π，3π]上是奇函數且是反比例函數，
g（x）=xcosx-sinx，
在x∈[-3π，3π]上是奇函數，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∴g（x）在x∈[0，π]上是減函數，在x∈[π，2π]上是增函數，
在x∈[2π，3π]上是減函數，
g（0）=0，g（π）=-π，g（2π）=2π，g（3π）=-3π，
作出函數圖象，可得：函數f（x）與g（x）的圖象共有6個交點．
∴方程f（x）=g（x）的根的個數是6．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、函數的奇偶性與單調性、方程的實數根轉化為函數圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．