某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上)，公共設(shè)施邊界為曲線f(x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M、N，交曲線于點(diǎn)P，設(shè)P(t，f(t))．

(1)將△OMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S表示成t的函數(shù)S(t)；

(2)若在t＝處，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

 

（1）S(t)＝（2）a＝，

【解析】(1)y′＝－2ax，∴切線斜率是－2at，

∴切線方程為y－(1－at2)＝－2at(x－t)．

令y＝0，得x＝，∴M，令x＝0，得y＝1＋at2，∴N(0，1＋at2)，

∴△OMN的面積S(t)＝.

(2)S′(t)＝，

由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.

當(dāng)3at2－1＞0，即t＞時，S′(t)>0；

當(dāng)3at2－1<0，即0<t<時，S′(t)<0.

∴當(dāng)t＝時，S(t)有最小值．

已知在t＝處，S(t)取得最小值，故有＝，

∴a＝.故當(dāng)a＝，t＝時，S(t)min＝S＝＝.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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函數(shù)f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是________．

 

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若函數(shù)f(x)＝則f(f(0))＝________．

 

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已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1)．

(1)當(dāng)a>1時，求證：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

(2)若函數(shù)y＝|f(x)－t|－1有三個零點(diǎn)，求t的值；

(3)若存在x1、x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，試求a的取值范圍．

 

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已知函數(shù)f(x)＝||x－1|－1|，若關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四個互不相等的實(shí)根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4的取值范圍是________．

 

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要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5(m2)，其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，設(shè)AB＝xm，BC＝ym.

(1)求y關(guān)于x的表達(dá)式；

(2)如何設(shè)計(jì)x、y的長度，才能使所用材料最少？

 

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已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元．設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機(jī)x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝

(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，蘋果公司在該款iPhone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．

 

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已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值．

 

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已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

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