Question

已知函數f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數．
（1）試確定a，b的值；
（2）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為x=1時函數取得極值得f（x）=-3-c求出b，然后令導函數=0求出a即可；
（2）解出導函數為0時x的值討論x的取值范圍時導函數的正負決定f（x）的單調區(qū)間；
（3）不等式f（x）≥-2c²恒成立即f（x）的極小值≥-2c²，求出c的解集即可．

解答：解：（1）由題意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，從而b=-3
又對f（x）求導得f′(x)=4ax3lnx+ax4•

1

x

+4bx3=x³（4alnx+a+4b）
由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12
（2）由（I）知f'（x）=48x³lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時f（x）為減函數；
當x＞1時，f'（x）＞0，此時f（x）為增函數
因此f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞）
（3）由（II）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，此極小值也是最小值，
要使f（x）≥-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≥-2c²
即2c²-c-3≥0，從而（2c-3）（c+1）≥0，解得c≥

3

2

或c≤-1
所以c的取值范圍為（-∞，-1]∪[

3

2

，+∞)

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數的單調性的能力，函數恒成立時條件的應用能力．