Question

已知以向量為方向向量的直線l過點(diǎn)，拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線C上兩個動點(diǎn)，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點(diǎn)N，若（O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)），試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求直線l：，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上，可得方程，從而可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），根據(jù)，用坐標(biāo)表示，結(jié)合拋物線方程，即可求得點(diǎn)N的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得直線l：     ①
過原點(diǎn)垂直于l的直線方程為 y=-2x    ②
解①②得，即兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
∵拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
∴，p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），
由，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又，．
代入上式+y₁y₂+4=0．
解得y₁y₂=-8     
又直線ON：，即      
∵y=y₁，∴y₁y₂=4x
∵y₁y₂=-8 
∴x=-2（y≠0）．
∴點(diǎn)N的軌跡方程為x=-2（y≠0）．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程，考查拋物線的方程，考查向量知識，解題的關(guān)鍵是將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系．