Question

【題目】數(shù)列 滿足 ，且 .
（1）寫出 的前3項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，猜想 ；（2）①驗(yàn)證 時(shí)成立; ②假設(shè) 時(shí)，猜想成立，即有 ，由 ，，及 ，證得 時(shí)成立,故命題成立.
（2）解：①當(dāng) 時(shí)， 成立；

②假設(shè) 時(shí)，猜想成立，即有 ，

由 ，，及 ，

得 ，即當(dāng) 時(shí)猜想成立，

由①②可知， 對(duì)一切正整數(shù) 均成立.

【解析】（1）將n=1，n=2分別代入遞推關(guān)系式中即可求出a2，a3，通過觀察前3項(xiàng)的規(guī)律可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d即可寫出an并驗(yàn)證；（2）驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)猜想成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．