【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB//CDABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD2EF

Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;

Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF

(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線面角,放在三角形當中來求解.

詳解:Ⅰ)在ABD中,∠ABD=30°,由AO2AB2+BD2-2AB·BDcos30°,

解得BD,所以AB2+BD2=AB2,根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°ADBD.

又因為DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,ADDE.

又因為BDDED,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD

∴平面ADE⊥平面BDEF

方法一

如圖,由已知可得,,則

,則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.

.

過點C,交DB、AB于點G,H,則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG,則

,DE⊥平面ABCD,平面.

G于點I,則BF平面,即角

二面角CBFD的平面角,則60°.

,,則.

在直角梯形BDEF中,GBD中點,,,,

設(shè) ,則,,則.

,則,即CF與平面ABCD所成角的正弦值為

方法二:

可知DA、DB、DE兩兩垂直,以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

設(shè)DE=h,則D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).

,.

設(shè)平面BCF的法向量為m=(x,y,z),

所以x=,所以m=(,-1),

取平面BDEF的法向量為n=(1,0,0),

,解得,則,

,,設(shè)CF與平面ABCD所成角為

sin=.

故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為

練習冊系列答案
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【題目】利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與離好閱讀是否有關(guān),隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀,利用2×2列聯(lián)表,由計算可得K24.236

PK2k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參照附表,可得正確的結(jié)論是( 。

A.95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

B.97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

C.95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

D.97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

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