Question

【題目】已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）斜率為的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)、，是否存在定點(diǎn)，使得直線、的斜率之和恒為0.若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）存在， 或

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，,由將用表示，然后將代入，化簡即可得到結(jié)果；

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，斜率為的直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和斜率和為0恒成立，可得結(jié)果.

（Ⅰ）設(shè)，，

則，，

由得，

所以，所以，

又在圓上，

所以，即.

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，斜率為的直線的方程為，

則，得，，

所以，解得

又，，

因?yàn)?/span>，

所以，

則，

則，

則，

則，

則，

所以對任意的恒成立，

所以，解得或，

所以存在定點(diǎn)或，使得、的斜率之和恒為0.