【題目】某禮品店要制作一批長(zhǎng)方體包裝盒,材料是邊長(zhǎng)為的正方形紙板.如圖所示,先在其中相鄰兩個(gè)角處各切去一個(gè)邊長(zhǎng)是的正方形,然后在余下兩個(gè)角處各切去一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為、的矩形,再將剩余部分沿圖中的虛線折起,做成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體包裝盒.
(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為多少時(shí),包裝盒的容積最大?最大容積是多少?
【答案】(1) ,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.(2)切去的正方形邊長(zhǎng)時(shí),包裝盒的容積最大,最大容積是.
【解析】試題分析:(1)先用x表示長(zhǎng)寬高,再根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式列函數(shù)解析式,最后根據(jù)實(shí)際意義確定定義域(2)求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,確定單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值
試題解析:(1)因?yàn)榘b盒高,底面矩形的長(zhǎng)為,寬為,
所以鐵皮箱的體積 .
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
(2)由(1)得, ,
令,解得.
當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減.
所以函數(shù)在處取得極大值,這個(gè)極大值就是函數(shù)的最大值.
又.
答:切去的正方形邊長(zhǎng)時(shí),包裝盒的容積最大,最大容積是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有丨FA丨=丨FD丨.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,
(。┳C明直線AE過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);
(ⅱ)△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),是函數(shù)(,)圖象上的任意兩點(diǎn),且角的終邊經(jīng)過點(diǎn),若時(shí),的最小值為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖.已知為直徑,且km,為圓心,為圓周上靠近的一點(diǎn),為圓周上靠近的一點(diǎn),且∥.現(xiàn)在準(zhǔn)備從經(jīng)過到建造一條觀光路線,其中到是圓弧,到是線段.設(shè),觀光路線總長(zhǎng)為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)求觀光路線總長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)1 , F2分別為橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連接BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連接F1C.
(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為( , ),且BF2= ,求橢圓的方程;
(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 若對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am , 則稱{an}是“H數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數(shù)列”;
(2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d<0,若{an}是“H數(shù)列”,求d的值;
(3)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為 的直線l與曲線C: ,(α為參數(shù))交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則直線l的極坐標(biāo)方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)若,是一枚骰子擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù),求方程有兩正根的概率;
(2)若,,求方程沒有實(shí)根的概率.
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【題目】學(xué)校舉辦的集體活動(dòng)中,設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲:參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān),若闖關(guān)成功,分別獲得1分、2分、3分的獎(jiǎng)勵(lì),游戲還規(guī)定,當(dāng)選手闖過一關(guān)后,可以選擇得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù),結(jié)束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān),若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功,則全部分?jǐn)?shù)都?xì)w零,游戲結(jié)束。設(shè)選手甲第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為,,,選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為,且各關(guān)之間闖關(guān)成功互不影響
(I)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得分?jǐn)?shù)為零的概率
(II)設(shè)該學(xué)生所得總分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望
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