已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，短軸一個端點到上焦點的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-2，0）作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，直線m是過點(-
4
17
，0)，且以
a
=（0，1）為方向向量的直線，設N是直線m上一動點，滿足
ON
=
OA
+
OB
（O為坐標原點）．問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
分析：（Ⅰ）由已知得
c
a
=
3
2
a2=4
，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由已知可得直線m：x=-
4
17
，設N(-
4
17
，t)，設直線l：y=k（x+2），A（x1，y1），B（x2，y2），由此能夠?qū)С龃嬖?span id="7zdhb5p" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=±
1
2
(x+2)使得四邊形OANB為矩形．
解答：解：（Ⅰ）由已知得
c
a
=
3
2
a2=b2+c2=22=4
?
a=2
c=
3
b=1
  ∴橢圓的標準方程為
y2
4
+x2=1；
（Ⅱ）由已知可得直線m：x=-
4
17
，設N(-
4
17
，t)
設直線l：y=k（x+2），A（x1，y1），B（x2，y2）
y=k(x+2)
y2
4
+x2=1
?(4+k2)x2+4k2x+4k2-4=0，△＞0?-
2
2
3
＜k＜
2
2
3
x1+x2=-
4k2
4+k2
=-
4
17
?k=±
1
2

此時
OA
•
OB
=0，所以存在y=±
1
2
(x+2)使得四邊形OANB為矩形．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意提高運算能力和解題技巧．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF1與直線DF2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率e滿足3， 
1
e
， 
4
9
成等比數(shù)列，且橢圓上的點到焦點的最短距離為2-
3
．過點（2，0）作直線l交橢圓于點A，B．
（1）若AB的中點C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設橢圓中心為，問是否存在直線l，使得的面積滿足2S△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦點分別為F1，F(xiàn)1，短軸兩個端點為P，P1，且四邊形F1PF2P1是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）設△ABC，AC=2
3
，B為橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）在x軸上方的頂點，當AC在直線y=-1上運動時，求△ABC外接圓的圓心Q的軌跡E的方程；
（3）過點F（0，
3
2
）作互相垂直的直線l1l2，分別交軌跡E于M，N和R，Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：南通模擬 題型：解答題

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF1與直線DF2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

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