如圖,在直角梯形ABCD中，∠BAD =∠ADC=，AB<CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=4，SD=.

（1）求直線SA與平面SDC所成的角的正切值；

（2）當(dāng)的值是多少時(shí)？二面角S—BC—A的大小為，請(qǐng)給出證明.

（3）在二面角S—BC—A的大小為時(shí)，若E，F，分別是SA、SC的中點(diǎn)，P、Q分別是

線段AD、DC上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=4，請(qǐng)你確定P、Q兩點(diǎn)的位置，使得PF⊥EQ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案：
解析：

解：（1）∵SD⊥平面ABCD，，又∠ADC=，為AD與平面SDC所成的角，

在

.

所以AD與平面SDC所成的角為

（2）∵SD⊥平面ABCD，過(guò)D作DH⊥BC交BC于H，連接SH，則SH⊥BC，（三垂線定理）

∴∠SHD為二面角S—BC—A的平面角，

∴∠SHD=，∴DH= SD=,

而BD= =,

∴點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，即BC⊥BD時(shí)，二面角S—BC—A的大小為，此時(shí)，DC=BD =8，即=2.

（2）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，A(4,0,0)，C(0,8,0)，S(0,0, ),

∵M為SB的中點(diǎn)，∴E、F分別為SA、SC的中點(diǎn)，∴E(2,0, )，F(0,4, ),

設(shè)P(x,0,0)，Q(0,y,0),(其中)，則16

，

∵PF⊥EQ∴……②由①②解得即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，PF⊥EQ.

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=
2
a．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，且DM⊥MC，試求出四棱錐S-ABCD的體積．

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如圖，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．點(diǎn)E、F分別是PC、BD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC沿CD折起，使PD⊥平面ABCD，
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），設(shè)
AP
=α
AD
+β
AB
，則α+β的最大值是（　�。�

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如圖，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P為CD的中點(diǎn)，則
PA
•
PB
的值為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，E、F分別為線段CD、AB上的點(diǎn)，且EF∥AD．將梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF，折后BD與平面ADEF所成角正切值為
2
2
．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF與平面ABD所成二面角（銳角）的大�。�

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