Question

曲線C上任一點到點E（-4，0），F(xiàn)（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A，B兩點，點P在曲線C上且位于x軸上方，滿足

PA

•

PF

=0．
（1）求曲線C的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）以曲線C的中心O為圓心，AB為直徑作圓O，是否存在過點P的直線l使其被圓O所截的弦MN長為3

15

，若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知曲線C為橢圓且a=6，c=4得b²=20，由此能求出曲線C的方程．
（2）設P（x₀，y₀）又A（-6，0），F(xiàn)（4，0）且

PA

•

PF

=0，代入坐標得x₀²+2x₀+y₀²-24=0，P在橢圓上故

x 2 0

36

+

y 2 0

20

=1，由P在x軸的上方得x0=

3

2

，y0=

5

2

3

，由此得到P點坐標．
（3）假設存在滿足題意的直線l，若直線l得斜率不存在，則l：x=

3

2

；若直線l得斜率存在，設l：y-

5

2

3

=k(x-

3

2

)，圓心到直線的距離d=

|3k-5 3 |

4k2+4

由題意知應有d=

3

2

，所以

|3k-5 3 |

4k2+4

=

3

2

得k=

11

15

3

，l：11x-5

3

y+21=0．

解答：解（1）由題意知曲線C為橢圓且a=6，c=4得b²=20
故曲線C的方程為

x2

36

+

y2

20

=1
（2）設P（x₀，y₀）又A（-6，0），F(xiàn)（4，0）且

PA

•

PF

=0
代入坐標得x₀²+2x₀+y₀²-24=0①
又P在橢圓上故

x 2 0

36

+

y 2 0

20

=1②
由①②并P在x軸的上方得x0=

3

2

，y0=

5

2

3

所以P(

3

2

，

5

2

3

)
（3）假設存在滿足題意的直線l1⁰若直線l得斜率不存在，則l：x=

3

2

易得|MN|=3

15

，故滿足題意．（9分）2⁰若直線l得斜率存在，設l：y-

5

2

3

=k(x-

3

2

)
即2kx-2y-3k+5

3

=0
又圓心到直線的距離d=

|3k-5 3 |

4k2+4

由題意知應有d=

3

2

所以

|3k-5 3 |

4k2+4

=

3

2

得k=

11

15

3

則l：11x-5

3

y+21=0
綜上得存在滿足題意的直線：l：x=

3

2

或11x-5

3

y+21=0

點評：本題考查曲線方程的求法、求點P的坐標和判斷直線方程是否存在，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．本題計算量較大，比較繁瑣，解題時要細心運算，避免出錯．