Question

如下圖所示，四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在線段PB上，PB與平面ABC成30°角.

（1）若PB=4PM，求證：CM∥平面PAD；

（2）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（3）若點M到平面PAD的距離為，問點M位于線段PB上哪一位置？

Answer 1

解法1：（1）在AB上取一點E，使得AE=1，則CE∥AD.

又∵AB=4AE，PB=4PM，

∴EM∥PA.

∴平面PAD∥平面MEC.

∴MC∥平面PAD.

（2）分別取PA和AD的中點F、G，連結BF、FG、BG.

∵PB與平面ABC成30°角，

∴∠PBC=30°.

∴PB=4,BP=AB.∴BF⊥AP.

又∵FG=DP=,

∵AB⊥面PBC,∴AB⊥PB,BF=.

在直角梯形ABCD中，計算得BG=.

∵FG²+BF²=BG²，∴BF⊥FG,

∴BF⊥平面PAD.

∴面PAB⊥面PAD.

（3）過點M在平面PAB內作MN∥PA,

∴點M到面PAD的距離即為點N到面PAD的距離，再過點N作NO⊥PA，由面PAB⊥面PAD，

∴NO即為點N到面PAD的距離.

∴NO==.

∵NO∥BF,

∴點N為AB的中點.

∴點M為PB的中點.

或直接作MN⊥PA于點N，MN==

又MN∥BF,∴N為PF的中點.

∴點M為PB的中點.

解法2：（1）以C為原點，CD、CB、CP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC=30°.

∵|PC|=2,

∴|BC|=,|PB|=4.

∴D(1,0,0)、B（0，,0）、A（4，，0）、P（0，0，2）.

∵PB=4PM，∴M（0，,）,

=(0,,),

=(-1,0,2),=(3,,0).

設=x+y (x、y∈R),

則（0, ,）=x(-1,0,2)+y(3, ,0),

∴

∴=+.

∴、、共面，

∵C平面PAD，

∴CM∥平面PAD.

（2）作BE⊥PA于E，

∵PB=AB=4，

∴E為PA的中點.

∵E（2,,1）, =(2,,1).

∵·DA=(2,-,1)·（3，，0）=0，

∴BE⊥DA.又BE⊥PA,

∴BE⊥面PAD.

∴面PAB⊥面PAD.

（3）設=λ=λ(0,,2)=(0, λ,2λ),

∵BE⊥面PAD，

∴平面PAD的法向量n==(2,,1),

∴點M到平面PAD的距離d=.

∴λ=(負的舍去)，即點M為線段PB的中點.