【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明：；

（2）設(shè)，為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為為方程的兩不等正根，再利用韋達(dá)定理和基本不等式即可證明；

（2）要證明，只要證明和，分別利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.

(1)當(dāng)時(shí)，，

，

為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，

為方程的兩不等正根，

，

且由韋達(dá)定理，

，

.

（2）要證明，

即，

下面分別證明和，

兩式相加即得結(jié)論.

（i），

令，

即證.

令函數(shù)，則，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

.

（ii）再證明，

即.

為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，

①

②

①-②可得，

兩邊同時(shí)乘以，

可得，

即.

令，則.

即證，

即，

即證.

令函數(shù)，

則，

在單調(diào)遞增，

.

由（i）（ii）可得，

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市創(chuàng)衛(wèi)辦為了了解該市開(kāi)展創(chuàng)衛(wèi)活動(dòng)的成效，對(duì)市民進(jìn)行了一次創(chuàng)衛(wèi)滿(mǎn)意程度測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”計(jì)5分，“不合格”計(jì)0分，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分市民的回答問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示：

等級(jí)

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

24

（1）求的值；

（2）按照分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取10份進(jìn)行問(wèn)題跟蹤調(diào)研，現(xiàn)再?gòu)倪@10份問(wèn)卷中任選4份，記所選4份問(wèn)卷的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)（，其中表示的方差）來(lái)評(píng)估該市創(chuàng)衛(wèi)活動(dòng)的成效.若，則認(rèn)定創(chuàng)衛(wèi)活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)為創(chuàng)衛(wèi)活動(dòng)無(wú)效，應(yīng)該調(diào)整創(chuàng)衛(wèi)活動(dòng)方案.在（2）的條件下，判斷該市是否應(yīng)該調(diào)整創(chuàng)衛(wèi)活動(dòng)方案？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年11月份，全國(guó)工業(yè)生產(chǎn)者出廠(chǎng)價(jià)格同比下降，環(huán)比下降某企業(yè)在了解市場(chǎng)動(dòng)態(tài)之后，決定根據(jù)市場(chǎng)動(dòng)態(tài)及時(shí)作出相應(yīng)調(diào)整，并結(jié)合企業(yè)自身的情況作出相應(yīng)的出廠(chǎng)價(jià)格，該企業(yè)統(tǒng)計(jì)了2019年1~10月份產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量（單位：萬(wàn)件）以及銷(xiāo)售總額（單位：十萬(wàn)元）之間的關(guān)系如下表：

2.08

2.12

2.19

2.28

2.36

2.48

2.59

2.68

2.80

2.87

4.25

4.37

4.40

4.55

4.64

4.75

4.92

5.03

5.14

5.26

（1）計(jì)算的值；

（2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并通過(guò)的大小說(shuō)明與之間的相關(guān)程度；

（3）求與的線(xiàn)性回歸方程，并推測(cè)當(dāng)產(chǎn)量為3.2萬(wàn)件時(shí)銷(xiāo)售額為多少.（該問(wèn)中運(yùn)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

附：回歸直線(xiàn)方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；

相關(guān)系數(shù).

參考數(shù)據(jù)：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，）.

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（Ⅲ）若對(duì)任意的（1，2），總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦分別與橢圓交于點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解全市統(tǒng)考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績(jī)，頻率分布直方圖如下圖所示.

（1）求這4000名考生的半均成績(jī)（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；

（2）由直方圖可認(rèn)為考生考試成績(jī)z服從正態(tài)分布，其中分別取考生的平均成績(jī)和考生成績(jī)的方差，那么抽取的4000名考生成績(jī)超過(guò)84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？

（3）如果用抽取的考生成績(jī)的情況來(lái)估計(jì)全市考生的成績(jī)情況，現(xiàn)從全市考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績(jī)不超過(guò)84.81分的考生人數(shù)為，求.（精確到0.001）

附：①；

②，則；

③.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校高一、高二兩個(gè)年級(jí)共336名學(xué)生同時(shí)參與了“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動(dòng).為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試.下表是高二年級(jí)的5名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)/分鐘）：

（1）求高一、高二兩個(gè)年級(jí)各有多少人？

（2）設(shè)某學(xué)生跳繩個(gè)/分鐘，踢毽個(gè)/分鐘.當(dāng)，且時(shí)，稱(chēng)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.

①?gòu)母叨昙?jí)的學(xué)生中任選一人，試估計(jì)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率；

②從高二年級(jí)抽出的上述5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3名學(xué)生中為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，平面，且，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案