Question

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

2=

AC

2=4

AB

2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點，設

| PM|

|PC |

=λ，問λ為何值時能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大小．

Answer 1

分析：（I）根據向量垂直的充要條件可得PA⊥AB，AB⊥AC，進而由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）方法一：由（I）知PC⊥AB，由等腰三角形三線合一得AM⊥PC，進而由線面垂直的判定定理可得當M為PC中點時，即λ=

1

2

時，直線PC⊥平面MAB
方法二：以A為坐標原點，AC，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得當M為PC中點時，即λ=

1

2

時，直線PC⊥平面MAB
（III）方法一：過A作AF⊥MB于F，過F作FE⊥PB于E，連結AE，由三垂線定理可知，∠AEF為二面角C-PB-A的平面角．解三角形可得答案；
方法二：求出平面BAP法向量和平面PBC的法向量．代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，
∴PA⊥AB，AB⊥AC，
∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
∴AB⊥平面PAC．                         　    …（3分）
方法一：（Ⅱ）當M為PC中點時，即λ=

1

2

時，直線PC⊥平面MAB，…（4分）
證明如下：
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAC，PC?平面APC，
∴PC⊥AB，…（5分）
在等腰△CAP中，
∵M為PC中點，
∴AM⊥PC，…（6分）
又∵BA∩AM=A，BA，AM?平面MAB
∴PC⊥平面MAB．                                　   …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當M為PC中點時，PC⊥平面MAB，
∵PC?平面PBC，
∴平面PCB⊥平面MAB．                         …（9分）
過A作AF⊥MB于F，
∴AF⊥平面PBC
作FE⊥PB于E，連結AE，由三垂線定理可知，AE⊥PB．
∴∠AEF為二面角C-PB-A的平面角．            …（11分）
設AB=a，則AC=AP=2a．
在Rt△PAC中，AM=

2

a，
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAC，AM?平面APC，
∴AB⊥AM．
在Rt△BAM中，BM²=AB²+AM²⇒BM=

a2+2a2

=

3

a．
由面積公式得BM•AF=AB•AM，AF=

2

3

a，…（12分）
同理，在Rt△BAP中，BP=

5

a，由面積公式得AE=

2

5

a，…（13分）
在Rt△AFE中，sin∠AEF=

AF

AE

=

30

6

．
所以二面角C-PB-A的大小為arcsin

30

6

．        …（14分）
方法二：
（Ⅰ）同方法一．                                       　     …（3分）
（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，AC，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

設AP=2，則P（0，0，2），A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，1，0），…（4分）
當M為PC中點時，即λ=

1

2

時，直線PC⊥平面MAB．    …（5分）
證明如下：
當M為PC中點時，M（1，0，1）．

PC

=(2，0，-2)，

AM

=(1，0，1)，

MB

=(-1，1，-1)．

PC

•

AM

=2×1+0×0+(-2)×1=0，
∴

PC

⊥

AM

，即PC⊥AM．                           …（6分）

PC

•

MB

=2×(-1)+0×1+(-2)×(-1)=0，
∴

PC

⊥

MB

，即PC⊥BM．                            …（7分）
又∵AM∩BM=M，
∴PC⊥平面AMB．                 …（8分）
（Ⅲ）可證CA⊥平面BAP．
則平面BAP法向量為

n1

=(2，0，0)，…（9分）
下面求平面PBC的法向量．
設平面PBC的法向量為

n2

=(x，y，z)，

PC

=(2，0，-2)，

CB

=(-2，1，0)，

2x+0-2z=0 -2x+y+0=0

⇒

n2

=(z，2z，z)，
令z=1，則

n2

=(1，2，1)，…（12分）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 |•| n2 |

=

2

2× 6

=

6

6

．
所以二面角C-PB-A的大小為arccos

6

6

．           …（14分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，線面垂直的證明，解法一的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，解法二的關鍵是建立空間坐標系，將空間線面垂直及夾角問題轉化為向量垂直和夾角問題．