Question

已知定義在[-3，3]上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：函數(shù)f（x）在[-3，3]上是減函數(shù)；
（3）解不等式f（2x-1）+f（3x+2）＜0．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，即可證函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）設-3≤x₁＜x₂≤3，作差f（x₁）-f（x₂）后化簡，利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在[-3，3]上是減函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（2x-1）+f（3x+2）＜0?f（2x-1）＜-f（3x+2）=f（-3x-2），利用（2）函數(shù)f（x）在[-3，3]上是減函數(shù)，即可求得x的范圍．

解答：（1）證明：令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即
f（-x）=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：對于[-3，3]上的任意兩個值x₁，x₂，且x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
又x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，又當x＞0時，f（x）＜0．
∴f（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
故函數(shù)f（x）在[-3，3]上是減函數(shù)．
（3）解：由（2）知：函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
∵f（2x-1）+f（3x+2）＜0，
∴f（2x-1）＜-f（3x+2）=f（-3x-2）．
∴2x-1＞-3x-2，
解得x＞-

1

5

．又

-3≤2x-1≤3 -3≤3x+2≤3

，
所以解集為（-

1

5

，

1

3

]．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明，考查不等式的解法，屬于中檔題．