Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令 ．用數(shù)學歸納法證明：（1-b₁）（1-b₂）…（1-b_n）≥1-（b₁+b₂+…+b_n）；
（3）設，數(shù)列{c_n}的前n項和為C_n，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N^*且n≥2，都有成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是 -=1，所以數(shù)列{ }是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=a₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．
（2）由（1）知：，
原不等式即證≥．
①n=1時，左==右，故n=1成立；
②假設n=k時，，
則n=k+1時，
=
＞．
故n=k+1時，也成立．綜合①②知，原不等式恒成立．
（3）因為b_n==log_2n2=，則B_3n-B_n=+++…+．
令f（n）=++…+，
則f（n+1）=++…++++．
所以f（n+1）-f（n）=++-=+-＞+-=0．
即f（n+1）＞f（n），所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．（7分）
所以當n≥2時，f（n）的最小值為f（2）=+++=．
據(jù)題意，＜，即m＜19．又m為整數(shù)，
故m的最大值為18．（8分）
分析：（1）根據(jù)題中給出的設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n便可求出數(shù)列{ }是公差為1的等差數(shù)列，將a₁=4代入便可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由，知原不等式即證≥．由數(shù)學歸納法進行證明．
（3）先求出數(shù)列bn的通項公式，然后求寫前n項和Bn的表達式，進而求出的B_3n-B_n表達式，然后證明B_3n-B_n為遞增數(shù)列，即當n=2時，B_3n-B_n最小，便可求出m的最大值．
點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，具體涉及到通項公式的求法、數(shù)學歸納法的證明和最大值的求法．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．