Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求得方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在曲線上， 軸上一點(diǎn)（在點(diǎn)右側(cè)）滿足.平行于的直線與曲線相切于點(diǎn)，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線過定點(diǎn).

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義可得得方程；

（Ⅱ）設(shè)，則，與拋物線相切的直線為，與拋物線聯(lián)立得，由得，得點(diǎn)，進(jìn)而求出直線AD的方程即可得定點(diǎn).

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.

設(shè)的方程為，

則，即.

所以的軌跡方程為.

（Ⅱ）設(shè)，則，

所以直線的斜率為.

設(shè)與平行，且與拋物線相切的直線為，

由得，

由得，

所以，所以點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，

整理得，

所以直線過點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，

綜上所述，直線過定點(diǎn).